 ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение Как определить диапазон голоса - ваш вокал Игровые автоматы с быстрым выводом Как самому избавиться от обидчивости Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком" Натюрморт и его изобразительные возможности Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д. Как научиться брать на себя ответственность Зачем нужны границы в отношениях с детьми? Световозвращающие элементы на детской одежде Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ) Глава 3. Завет мужчины с женщиной
Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.
| Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм
В математике рассматривают не только конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний, но и выполняют соответствующие операции над высказывательными формами. Конъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) Ù В(х). С появлением этого предложения возникает вопрос, как найти его множество истинности, зная множества истинности высказывательных форм А(х) и В (х). Другими словами, при каких значениях х из области определения Х высказывательная форма А(х)ÙВ(х) обращается в истинное высказывание? Очевидно, что это возможно при тех и только тех значениях х, при которых обращаются в истинное высказывание обе высказывательные формы А(х) и В(х). Если обозначить ТА – множество истинности предложения А(х), ТВ – множество истинности предложения В(х), а множество истинности их конъюнкции ТА˄В, то, по всей видимости, ТА˄В = ТА Докажем это равенство. 1. Пусть а - произвольный элемент множества Х и известно, что а ∈ ТА˄В. По определению множества истинности это означает, что высказывательная форма А(х)˄В(х) обращается в истинное высказывание при х = а, т.е. высказывание А(х)˄В(х) истинно. Так как данное высказывание конъюнкция, то, по определению конъюнкции, получаем, что каждое из высказываний А(а) и В(а) также истинно. Это означает, что а ∈ТА и а ∈ ТВ. Следовательно, по определению пересечения множеств, а ∈ ТА 2. Докажем обратное утверждение. Пусть а – произвольный элемент множества Х и известно, что а ∈ ТА Из 1 и 2 в силу определения равных множеств вытекает справедливость равенства ТА˄В = ТА Заметим, что полученное правило справедливо и для высказывательных форм, содержащих более одной переменной. Приведем примериспользования этого правила. Найдем множество истинности конъюнкции двух неравенств 2х > 10 и 4+х<12, т.е. множество истинности предложения 2х >10 ˄ 4+х<12. Пусть Т1 – множество решений неравенства 2х > 10, а Т2 – множество решений неравенства 4+х<12. Тогда Т1= (5,+∞), Т2 = (-∞, 8). Чтобы найти те значения х, при которых истинны оба неравенства, надо найти пересечение их множеств решений: Т1 Видим, что выполнение этого задания свелось к решению системы неравенств.Вообще с точки зрения логики любая система неравенств есть конъюнкция неравенств, так же как и система уравнений есть конъюнкция уравнений. Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х)˄В(х). Это предложение будет обращаться в истинное высказывание при тех и только тех значениях х из области определения Х, при которых обращается в истинное высказывание хотя бы одна из высказывательных форм, т.е. ТА˄В = ТА Доказательство этого равенства проводится аналогично рассмотренному выше. Приведем пример использования этого правила. Решим, например, уравнение (х-2)×(х+5) = 0. Известно, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что данное уравнение равносильно дизъюнкции: х-2=0 ˄ х+5=0 и поэтому множество его решений может быть найдено как объединение множеств решений первого и второго уравнений, т.е. {2}
Заметим, что дизъюнкцию уравнений (неравенств) называют также совокупностью. Решить совокупность уравнений (неравенств) – это значит найти те значения переменных, при которых истинно хотя бы одно из уравнений (неравенств), входящих в нее. Рассматривая конъюнкцию и дизъюнкцию высказывательных форм, мы установили их тесную связь с пересечением и объединением множеств. С другой стороны, характеристические свойства элементов пересечения и объединения множеств А и В представляют собой соответственно конъюнкцию и дизъюнкцию характеристических свойств данных множеств: А
Упражнения 1. Покажите, что, выполняя следующие задания, мы находим множество истинности конъюнкции и дизъюнкции высказывательных форм: а) Даны числа: 31,53,409,348,20,3094,233,33,271,143,3,333,14,30. Выпишите все числа, в записи которых: 1) три цифры и есть цифра 3; 2) три цифры или есть цифра 3. б) Из ряда 25, 12, 17, 5, 15, 36 выпишите те числа, которые: 1) двузначные или меньше 17; 2) двузначные и меньше 17. в) Из ряда 72,312,522,483,1137 выпишите те числа, которые: 1) делятся на 3 и 9; 2) делятся на 3 или на 9. 2. Выполните следующие задания и дайте обоснование предложенным ответам: а) Постройте по два треугольника, принадлежащих множеству А, если оно состоит из: 1) прямоугольных и равнобедренных треугольников; 2) прямоугольных или равнобедренных треугольников. б) Постройте два четырехугольника, у которых: 1) диагонали равны и есть прямой угол; 2) диагонали равны или есть прямой угол. в) Запишите три числа, которые: 1) делятся на 4 и больше 12; 2) делятся на 4 или 12.
3. Решите следующие системы неравенств и объясните, что представляет собой любая система неравенств и множество ее решений с точки зрения логики: а) б) 4. Решите уравнение (х-3)×(х+2) ×(х-7)=0, х ∈ R. Использовалось ли вами понятие дизъюнкции высказывательных форм? 5. Вместо многоточия вставьте «и» либо «или»: а) х ∈ A б) х ∈ A 6. Пусть А – множество ромбов, В – множество прямоугольников. Как называется четырехугольник, являющийся одновременно ромбом и прямоугольником? Как можно выразить множество К таких четырехугольников через множества А и В?
|
ТВ.
ТВ.
