ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Модель естественного роста выпуска
Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(t) количество про­дукции, реализованной на момент времени t; тогда на этот момент времени получен доход, равный PQ(t). Пусть часть указанного дохода расходуется на инвестиции в производство реализуемой продукции, т.е.

где m — норма инвестиции — постоянное число, причем 0 < т < 1.

Если исходить из предположения о ненасыщаемости рын­ка (или о полной реализации производимой продукции), то в результате расширения производства будет получен прирост дохода, часть которого опять будет использована для расшире­ния выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпус­ка (акселерации), причем скорость выпуска пропорциональна увеличению инвестиций, т.е.

где 1/l — норма акселерации. Подставив в (11.2) формулу (11.1), получим

Дифференциальное уравнение (11.3) представляет собой уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Общее решение этого уравнения имеет вид

где С — произвольная постоянная. Пусть в начальный момент времени t = t₀ зафиксирован (задан) объем выпуска продукции Q₀. Тогда из этого условия можно выразить постоянную С: Q₀ = С , откуда С = Q₀ . Отсюда получаем частное решение уравнения (11.3) — решение задачи Коши для этого уравнения:

Заметим, что математические модели обладают свойством общности. Так, из результатов биологических опытов следует, что процесс размножения бактерий также описывается урав­нением (11.3). Процесс радиоактивного распада подчиняется закономерности, установленной формулой (11.4).
Рост выпуска в условиях конкуренции
В этой модели мы снимем предположение о ненасыщае­мости рынка. Пусть Р = Р(Q) — убывающая функция, т.е. с увеличением объема продукции на рынке цена на нее пада­ет: dP/dQ < 0. Теперь из формул (11.1)-(11.3) мы получаем нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно Q с разделяющимися переменными:

Поскольку все сомножители в правой части этого уравнения положительны, то Q' > 0, т.е. функция Q(t) возрастающая.

Характер возрастания функции определяется ее второй производной. Из уравнения (11.5) получаем

Это равенство можно преобразовать, введя эластичность спроса

или, так как < 0, а значит, и Е < 0, окончательно получаем

Из уравнения (11.6) следует, что Q" > 0 при эластич­ном спросе, т.е. когда |Е| > 1, и график функции Q(t) име­ет направление выпуклости вниз, что означает прогрессирую­щий рост. При неэластичном спросе |Е| < 1, и в этом случае Q" < 0 — направление выпуклости функции Q(t) вверх, что означает замедленный рост (насыщение).

Для простоты примем зависимость P(Q) в виде линейной функции

(рис. 11.1). Тогда уравнение (11.5) имеет вид

откуда

Из соотношений (11.7) и (11.8) получаем: Q' = 0 при Q = 0 и при Q = а/b, Q" > 0 при Q < а /(2b) и Q" < 0 при Q > а/(2b); Q = a/(2b) — точка перегиба графика функции Q = Q(t). Приведенный на рис. 11.2 график этой функции (од­ной из интегральных кривых дифференциального уравнения (11.7)) носит название логистической кривой.

Аналогичные кривые характеризуют и другие процессы, например размножение бактерий в ограниченной среде обита­ния, динамику эпидемий внутри ограниченной общности био­логических организмов и др.
Динамическая модель Кейнса
Рассмотрим простейшую балансовую модель, включаю­щую в себя основные компоненты динамики расходной и до­ходной частей экономики. Пусть Y(t), E(t), S(t), I(t) — со­ответственно национальный доход, государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматривают­ся как функции времени t. Тогда справедливы следующие со­отношения:

где a(t) — коэффициент склонности к потреблению (0 < а(t) < 1), b(t) — автономное (конечное) потребление, k(t) — норма аксе­лерации. Все функции, входящие в уравнения (11.9), положи­тельны.

Поясним смысл уравнений (11.9). Сумма всех расходов дол­жна быть равной национальному доходу — этот баланс отра­жен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внут­реннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве и конечного потребления — эти составля­ющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвес­тиций не может быть произвольным: он определяется произве­дением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологии и инфраструктуры данного государства, на предельный национальный доход.

Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t) и E(t) зада­ны — они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику на­ционального дохода, или Y как функцию времени t.

Подставим выражения для S(t) из второго уравнения и для I(t) из третьего уравнения в первое уравнение. После приве­дения подобных получаем дифференциальное неоднородное ли­нейное уравнение первого порядка для функции Y(t):

Согласно п. 9.4, существует достаточно сложная формула об­щего решения этого уравнения. Мы проанализируем более про­стой случай, полагая основные параметры задачи а, b и k по­стоянными числами. Тогда уравнение (11.10) упрощается до линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения со­ответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения (11.11) возьмем так называемое равновес­ное решение, когда Y’ = 0, т.е.

Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Общее ре­шение однородного уравнения дается формулой , так что общее решение уравнения (11.11) имеет вид

Интегральные кривые уравнения (11.11) показаны на рис. 11.3. Если в начальный момент времени Y₀ < Y_p , то С = Y₀ — Y_p < 0и кривые уходят вниз от равновесного решения (11.12), т.е. национальный доход со временем пада­ет при заданных параметрах задачи а, b, k и Е, так как показатель экспоненты в (11.13) положителен. Если же Y₀ > Y_p, то С > 0 и национальный доход растет во времени — интегральные кривые уходят вверх от равновесной прямой Y = Y_р.

Согласно классификации п. 9.3, уравнение (11.11) является автономным; точка Y = Y_p представляет собой точку неустой­чивого равновесия.

Неоклассическая модель роста
Пусть Y = F (K, L) — национальный доход, где F — одно­родная производственная функция первого порядка (F (tK, tL) = tF (K, L)), К — объем капиталовложений (про­изводственных фондов), L — объем затрат труда. Введем в рассмотрение величину фондовооруженности k = K/L, тогда производительность труда выражается формулой

Целью задачи, рассматриваемой в этом разделе, является описание динамики фондовооруженности или представление ее как функции от времени t. Поскольку любая модель базирует­ся на определенных предпосылках, нам нужно сделать некото­рые предположения и ввести ряд определяющих параметров. В данном случае будем полагать, что выполнены следующие предположения.

1. Имеет место естественный прирост во времени трудовых ресурсов:

2. Инвестиции расходуются на увеличение производствен­ных фондов и на амортизацию, т.е.

где ? — норма амортизации.

Тогда если l — норма инвестиций, то I = lY = К' + ?К, или

Из определения фондовооруженности k вытекает, что

Дифференцируя это равенство по t, имеем

Подставив в это соотношение выражения (11.15) и (11.16), по­лучаем уравнение относительно неизвестной функции k

где функция f(k) определена по формуле (11.14).

Полученное соотношение (11.17) представляет собой нели­нейное дифференциальное уравнение первого порядка с раз­деляющимися переменными (которое является автономным). Выделим стационарное решение этого уравнения; из условия k' = 0 следует, что

т.е. k = const — постоянная величина, являющаяся корнем этого нелинейного алгебраического уравнения.

Рассмотрим конкретную задачу: для производственной функции F(K, L) = найти интегральные кривые урав­нения (11.17) и стационарное решение.Из (11.14) следует, что f(k) = , и тогда уравнение (11.17) имеет вид

Стационарное решение этого уравнения следует из равенства

откуда получаем ненулевое частное решение уравнения (11.17): k_st = I²/(? + ?)².

Рис. 11.4
Дифференциальное уравнение (11.17) решаем методом раз­деления переменных:

Интегрируя это уравнение с заменой переменной = z, по­лучаем его общее решение в окончательном виде:

Семейство интегральных кривых сходится сверху и снизу к стационарному решению (рис. 11.4): т.е. k k_st при t . Следовательно, при неизменных входных параметрах задачи l, ? и ? функция фондовооруженности в данном случае устой­чиво стремится к стационарному значению независимо от на­чальных условий. Такая стационарная точка k = k_st является точкой устойчивого равновесия.